Michael Eichmair: An der Schnittstelle von Geometrie und Allgemeiner Relativitätstheorie

Die Frage nach Isoperimetrie – Welche Form schließt bei fest gegebenem Umfang den größten Flächeninhalt ein? – wurde bereits in der Antike gestellt. In seiner Erzählung Aeneis berichtet Virgil von der phönizischen Königin Dido, die an der Nordküste Afrika so viel Land erhält, wie sie mit einer aus einem Stück Ochsenfell geschnittener Schnur einfassen kann. "Indem sie den Grundriss ihrer berühmten Stadt Karthago kreisförmig und damit bestmöglich anlegt, wird Dido zu einer der ersten großen Heldinnen der Mathematik", erzählt der 32-jährige Professor für Globale Analysis und Differentialgeometrie an der Universität Wien und seit kurzem Träger eines hochdotierten START-Preises, Michael Eichmair.

Ein Umstand, der Dido hilft, ist, dass die Erdoberfläche positiv gekrümmt und nicht flach ist – "das kann man leicht einsehen. Ich lade Sie ein, ein bisschen darüber nachzudenken, warum ihr das zum Vorteil gereicht", schmunzelt der Mathematiker. Es stellt sich heraus, dass positive Krümmung sogar dadurch charakterisiert ist, dass eine kleine Scheibe – also die Menge all jener Punkte, die innerhalb einer gegebenen Distanz von einem festen Punkt liegen – ein wenig mehr Fläche einschließt als eine flache Scheibe gleichen Umfangs.

Tiefliegender Zusammenhang zwischen Raumzeit und Isoperimetrie

"Anders ausgedrückt: Das isoperimetrische Problem im Kleinen bevorzugt positive Krümmung. Die dynamische Formulierung der Allgemeinen Relativitätstheorie besagt, dass alles Zukünftige und alles Vergangene bereits in bestimmten drei-dimensionalen Schnitten der Raumzeit – sogenannten Anfangsdaten – enthalten ist", so Eichmair. Unter natürlichen Bedingungen ist dann die (skalare) Krümmung solcher Anfangsdaten nicht negativ.

"Wir erkennen immer mehr, dass es einen tiefliegenden Zusammenhang zwischen den physikalischen Eigenschaften einer Raumzeit wie etwa ihrer Masse, ihrem Massenzentrum oder der Form ihres Ereignishorizonts auf der einen Seite und dem isoperimetrischen Problem im Kleinen wie im Großen für Anfangsdaten der Raumzeit auf der anderen Seite gibt", erklärt der Wissenschafter.

Ziel seiner Forschung im Rahmen der START-Förderung sei es, diesen Zusammenhang besser zu verstehen und damit Licht auf einige Fragen an der Schnittstelle von Geometrie und Allgemeiner Relativitätstheorie zu werfen. (FWF/red)